Phénomènes transitoires et description statistique des systèmes multistables : investiguer la jouabilité d'un instrument auto-oscillant numérique et in vitro

Résumé : Cette thèse s’intéresse à la dynamique non linéaire des instruments auto-oscillants, tels que les instruments à vent et à cordes frottées. Ces instruments sont souvent étudiés à paramètres constants et en régime permanent avec la théorie des bifurcations. Dans cette thèse, on cherche à enrichir ces méthodes pour décrire le comportement de ces instruments en régime transitoire, en présence
de multistabilité et lorsque leurs paramètres varient dans le temps. 

Deux approches sont proposées. Dans la première, le système est linéarisé autour de ses solutions statiques (Analyse de Stabilité Linéaire ASL) et périodiques (méthode de Hill-Floquet) pour calculer leur stabilité, mais aussi les directions et vitesses d’évolution caractéristiques du système autour de ces solutions. Les limites de validité de ces méthodes et leurs usages potentiels pour l’étude de régimes transitoires, sont discutés. La deuxième approche décrit le fonctionnement global d’un instrument en effectuant des statistiques pour des états initiaux aléatoire. En particulier, la stabilité de bassin indique la probabilité d’apparition des différentes solutions d’un système multistable. Nous proposons une approche semblable pour évaluer la durée probable des régimes transitoires, leur composition et l’influence d’une variation temporelle d’un paramètre. 

Ces méthodes sont ensuite appliquées à un modèle de trombone soprano autour d’une double bifurcation de Hopf. Deux régimes périodiques peuvent alors coexister et être multistables. Dans cette configuration, on observe des transitoires riches, pouvant s’attarder plusieurs secondes sur une solution instable, ou encore présenter des quasi-périodicités. Les limites de la notion binaire de stabilité sont ainsi mises en évidence. L’ASL permet de prédire le premier régime susceptible d’apparaitre lorsque le système est initialisé proche de l’équilibre.

Ces résultats sont obtenus sur un modèle avec deux modes de résonateur. Pour des modèles à trois modes ou plus, un régime quasi-périodique stable apparaît proche de cette double bifurcation de Hopf. Les paramètres de bifurcation étudiés sont la pression d’alimentation et la position de la coulisse, qui détermine l’impédance d’entrée de l’instrument. Pour ce faire, l’impédance est mesurée pour plusieurs positions de coulisse, ses coefficients modaux sont identifiés pour chaque position, puis interpolés. L’impédance est alors définie continument en fonction de la position de la coulisse, ce qui permet de réaliser des glissandi lors de simulations temporelles et d’étudier la position de la coulisse comme un paramètre de bifurcation.

Le trombone soprano est ensuite étudié avec une bouche artificielle. Une double bifurcation de Hopf est mise en évidence et cartographiée en fonction de la pression d’alimentation et de la position de la coulisse. Le comportement de l’instrument réel autour de sa double bifurcation de Hopf présente de nombreuses similarités avec le modèle. En particulier, le régime périodique aigu émanant de cette double bifurcation de Hopf apparait souvent en premier lors d’un transitoire, même lorsque celui-ci est instable.

Finalement, cette thèse propose des approches méthodologiques pour accéder à des informations que le diagramme de bifurcation d’un système auto-oscillant ne peut pas fournir (relatives aux transitoires, à la stabilité et à la compétition entre plusieurs régimes stables). Ces approches sont mises en oeuvre pour décrire le comportement des cuivres dans une configuration jusque là peu étudiée : une double bifurcation de Hopf.

Jury

Jean-François PETIOT -- Président ; Professeur, LS2N, Nantes, France
Stefan BILBAO -- Rapporteur ; Professeur, University of Edinburgh, Édimbourg, Écosse
Vincent DEBUT -- Rapporteur ; Professeur assistant, NOVA FCSH, Édimbourg, Portugal
Soizïc TERRIEN -- Examinatrice ; Chargée de recherche, LAUM, Le Mans, France
Christophe VERGEZ -- Directeur de thèse ; Directeur de recherche CNRS, LMA, Marseille, France
Jean-Baptiste DOC -- Co-encadrant de thèse ; Maître de conférence, CNAM, Paris, France
Tom COLINOT -- Invité et co-encadrant de thèse ; Ingénieur, Buet-Crampon, Mantes-la-Ville, France
Vincent FRÉOUR -- Invité et co-encadrant de thèse ; Ingénieur, Yamaha Japon, Hamamatsu, Japon

La soutenance de thèse de Martin Pégeot est prévue le 16 décembre à 9h00 - amphithéâtre du LMA