Jury

- Directeur de these : M. Frédéric LEBON Aix Marseille Université / LMA - Rapporteur : M. Jean-Charles PASSIEUX Institut National des Sciences Appliquées de Toulouse - Rapporteur : M. Alain RASSINEUX Université de Technologie de Compiègne - Examinateur : Mme Isabelle RAMIèRE Commissariat à l’énergie atomique et aux énergies alternatives - Examinateur : M. Pierre GOSSELET École polytechnique universitaire de Lille - Examinateur : M. Martin VOHRALíK Institut national de recherche en sciences et technologies du numérique INRIA - Examinateur : M. Vincent FAUCHER Commissariat à l’énergie atomique et aux énergies alternatives

Résumé du manuscrit de thèse :

Cette thèse a pour but de proposer une méthode efficace de raffinement adaptatif de maillage (AMR) permettant d'effectuer des calculs de mécanique quasi-statique non linéaire. Dans ce contexte nous nous appuyons sur un algorithme générique AMR entièrement automatique grâce à l'utilisation d'un estimateur d'erreur a posteriori. Une attention particulière est portée sur la vérification non seulement de l'erreur de discrétisation globale, mais également de celle locale (élémentaire) qui est importante pour des applications réelles, mais très peu étudiée dans la littérature. Nous nous focalisons sur le raffinement adaptatif de maillages uniquement composés d'éléments quadrilatéraux (2D) ou hexaédriques (3D). Nous introduisons dans le cadre algorithmique AMR adopté les modules de résolution et de raffinement hiérarchique spécifiques à chaque méthode de raffinement local de pas de maillage considérée : méthodes de raffinement h-adaptatif, conformes et non-conformes, et méthodes multigrilles locales ou multiniveaux de type Local Defect Correction (LDC). Une étude numérique comparative poussée dans le cas élastostatique permet de mettre en évidence les grandes potentialités de la méthode multigrille locale LDC en terme de temps de calcul pour une précision donnée. L'atout majeur de la méthode LDC réside dans la résolution séparée de problèmes de taille limitée sur l'ensemble des niveaux de maillages. Nous nous sommes également intéressés dans cette thèse au cadre plus général du couplage numérique multiéchelle. Dans ce cadre, nous avons introduit un formalisme unifié de résolution de problèmes multiéchelles basée sur un couplage itératif multiniveau. Le formalisme proposé permet de définir les liens algorithmiques et conceptuels fort entre les approches AMR multiniveaux et les méthodes d'homogénéisation numérique (de type éléments finis au carré, EF2). Nous montrons que la méthode LDC peut être vue comme une méthode de méso-homogénéisation applicable à des problèmes à faible séparation d'échelles où les approches fondées sur la théorie d'homogénéisation sont limitées. Finalement, nous proposons une extension algorithmique de la méthode multiniveau LDC à des problèmes de mécanique quasi-statique non linéaire. Nous mettons en évidence l'efficacité de la méthode LDC dans ce contexte et montrons sa capacité naturelle à générer une hiérarchie de maillages qui suit dynamiquement l'évolution en temps du phénomène étudié. Les questions génériques liées au transfert des champs entre les pas de temps ainsi que la problématique du contrôle de l'erreur de discrétisation sur l'ensemble de l'historique sont également adressées. La solution proposée repose sur la prise en compte du déséquilibre initial sous forme de résidu du problème permettant d'efficacement contrôler cette erreur et de ne raffiner le maillage que si nécessaire.